Obwody elektryczne Opór elektryczny Opór zastępczy

Dodatek: Zawada w obwodzie RLC

W omawianym obwodzie $ RLC $ pomimo szeregowego połączenia oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego opór zastępczy (zawada) nie jest sumą algebraiczną tych oporów. Wynika to bezpośrednio z występujących w obwodzie przesunięć fazowych pomiędzy prądem i napięciem, które trzeba uwzględniać przy dodawaniu napięć i w konsekwencji przy liczeniu zawady.

Żeby to sprawdzić obliczmy napięcie wypadkowe w obwodzie $ RLC $

(1)

$ {U=U_{{R}}+U_{{C}}+U_{{L}}} $

Po podstawieniu odpowiednich wyrażeń i uwzględnieniu przesunięć fazowych pomiędzy prądem i napięciem dla poszczególnych elementów obwodu otrzymujemy

(2)

$ U=RI_0\sin(\mathit{\omega t}-\varphi )-X_{{C}}I_{{0}}\sin(\mathit{\omega t}-\varphi +\pi/{2})+X_{{L}}I_{{0}}\sin(\mathit{\omega t}-\varphi -\pi /{2}) $

lub

(3)

$ {U=RI_{{0}}\sin(\mathit{\omega t}-\varphi )-X_{{C}}I_{{0}}\cos(\mathit{\omega t}-\varphi)+X_{{L}}I_{{0}}\cos(\mathit{\omega t}-\varphi )} $

Zwróćmy uwagę, że na kondensatorze napięcie $ U $ pozostaje za prądem $ I $, a na cewce $ U $ wyprzedza $ I $.

Równanie ( 3 ) można przekształcić do postaci

(4)

$ {\frac{U}{I_{{0}}}=R\sin(\mathit{\omega t}-\varphi)+(X_{{L}}-X_{{C}})\cos(\mathit{\omega t}-\varphi )} $

Mamy więc teraz dodać do siebie dwie funkcje, sinus i cosinus.

W tym celu skorzystamy z wyrażenia Obwód szeregowy RLC-( 6 ), zgodnie z którym $ {(X_{{L}}-X_{{C}})/{R}=tg\varphi } $. Relacja ta, pokazana na rysunku poniżej, przedstawia związek między reaktancjami $ X_{L} $, $ X_{C} $ oporem $ R $ oraz kątem fazowym $ \varphi $.

Zauważmy, ze przeciwprostokątna trójkąta na rysunku jest równa zawadzie
$ {Z=\sqrt{R^{{2}}+\left(X_{{L}}-X_{{C}}\right)^{{2}}}} $.

$: Związek między reaktancjami {OPENAGHMATHJAX()}X_{L}{OPENAGHMATHJAX}, {OPENAGHMATHJAX()}X_{C}{OPENAGHMATHJAX} oporem {OPENAGHMATHJAX()}R{OPENAGHMATHJAX}, zawadą {OPENAGHMATHJAX()}Z{OPENAGHMATHJAX} oraz kątem fazowym {OPENAGHMATHJAX()}\varphi{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 1: Związek między reaktancjami $ X_{L} $, $ X_{C} $ oporem $ R $, zawadą $ Z $ oraz kątem fazowym $ \varphi $

Dzielimy teraz obustronnie równanie ( 4 ) przez $ Z $ i otrzymujemy

(5)

$ {\frac{1}{Z}\frac{U}{I_{{0}}}=\frac{R}{Z}\sin(\mathit{\omega t}-\varphi )+\frac{(X_{{L}}-X_{{C}})}{Z}\cos(\mathit{\omega t}-\varphi )} $

Zgodnie z Rys. 1

(6)

$ {\frac{R}{Z}=\cos\varphi } $

oraz

(7)

$ {\frac{(X_{{L}}-X_{{C}})}{Z}=\sin\varphi } $

Tak więc ostatecznie

(8)

$ {\frac{1}{Z}\frac{U}{I_{{0}}}=\cos\varphi\;\sin(\mathit{\omega t}-\varphi )+\sin\varphi\;\cos(\mathit{\omega t}-\varphi )=\sin\mathit{\omega t}} $

Otrzymaliśmy ponownie relację

(9)

$ {U=ZI_{{0}}\sin\mathit{\omega t}} $

z której wynika, że napięcie $ U $ wyprzedza prąd $ {I=I_{{0}}{\sin}(\mathit{\omega t}-\varphi )} $ o kąt fazowy $ \varphi $ oraz, że zawada $ Z $ jest stałą proporcjonalności pomiędzy $ U_0 $ i $ I_{0} $.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Dodatek: Zawada w obwodzie RLC